|
תקציר:
במשך מאות שנים התפתחה תורת הגבישים (הקריסטלוגרפיה) על בסיס ההנחה שגבישים הם בהכרח מחזוריים. אף אחד לא העלה על דעתו שאפשר להשיג סדר ארוך-טווח בדרך אחרת. כל זה השתנה בבת אחת לפני כ-20 שנה כאשר הפיסיקאי הישראלי דני שכטמן גילה את הקווזי-גביש הראשון. התגלית של שכטמן עוררה מהפכה מדעית, שעדיין נמצאת בעיצומה, במסגרתה אנחנו בוחנים מחדש מושגי יסוד במצב מוצק החל מעצם ההגדרה של "גביש", דרך מושגים כמו "סדר" וכלה בסימטריה של גבישים והשלכותיה על תכונותיהם הפיסיקליות.
במאמר זה ננסה להסביר, מבלי להכנס לפרטים יותר מידי טכניים, היכן אנו עומדים כיום בחלק מהסוגיות הללו. נציג את ההגדרה המעודכנת למושג הגביש, נדגים כיצד נראה סדר שאיננו מחזורי ונסביר מהי המשמעות של פעולת סימטריה בגבישים שאינם מחזוריים.
הקדמה
מה הם קווזי-גבישים (quasicrystals)? כאשר גילה אותם דני שכטמן באפריל 1982, הוא נתקל בחוסר אמון כזה שנדרשו לו שנתיים וחצי עד אשר הצליח לפרסם את התגלית בספרות המדעית. מדוע זה? ובכלל, למה קמה מהומה שכזו סביב הסימטריה כפולת-החמש? ומה פירוש הדבר, כשאומרים על גביש שיש לו סימטריה כזו?
בטרם נוכל להשיב על השאלות הללו, עלינו לעיין מעט ברקע. במשך מאות שנים תוארו גבישים בפשטות כמוצקים בעלי משטחים ישרים (פאות) הנפגשים בזוויות אופייניות. זה מה שאנו רואים בדרך-כלל בתצוגות של מינרלים, כמו אלה שמוצגים במוזיאוני מדע וטבע שונים ברחבי העולם [לחצו כאן לחיפוש תמונות של מינרלים בגוגל], וזה גם מה שאנו רואים כשאנו מסתכלים בקווזי-גבישים מסוימים, כמו אלה שבאיורים מס' 1 ו-2.
איור מס' 1:
תמונות מיקרוסקופ אלקטרוני סורק של גרגרים יחידים של קווזי-גבישים: (א) סגסוגת אלומיניום-נחושת-ברזל שמתגבשת בצורת דודקהדרון. זהו אחד מחמשת הפאונים האפלטוניים, ובו 12 פאות שהן מחומשים משוכללים. הסימטריה שלו זהה לזו של האיקוסהדרון, גם הוא פאון אפלטוני בעל 20 פאות שהן משולשים שווי-צלעות. (ב) סגסוגת אלומיניום-ניקל-קובלט שמתגבשת בצורת מנסרה דקגונית (בעלת 10 פאות צדיות).
[תצלומים מאת אן פנג טסאי, NRIM, טסוקובה, יפן.]
איור מס' 2 : קווזי-גביש יחיד של הולמיום-מגנזיום-אבץ שמתגבש בתצורה דודקהדרית. בעל סימטריה איקוסהדרית כמו גביש האלומיניום-נחושת-ברזל שבאיור מס' 1 [א]. הגביש מצולם מעל קנה-מידה מילימטרי. גביש זה הוצמח על ידי איאן פישר במעבדות איימס שבמדינת איווה בארה"ב. [I.R. Fisher et al., PRB 59 (1999) 308-321]
במרוצת המאה השבע-עשרה החלו להופיע רעיונות ראשוניים בדבר המבנה המיקרוסקופי של גבישים, בעבודתם של מדענים כמו יוהנס קפלר (Kepler) ורוברט הוק (Hooke) (לסקירת רקע היסטורית קצרה, ראו את ספרה של מרג'ורי סנשל [7]). הרעיונות הללו גובשו בדמות התיאוריה של הקריסטלוגרפיה שהציג רנה-ז'יסט הואי (Haüy) בתחילת המאה התשע-עשרה. במרכז התיאוריה ניצב הרעיון שגבישים הם מוצקים סדורים ברמה המיקרוסקופית. ההנחה היתה שאין דרך אחרת להשיג סדר, מלבד המחזוריות - כלומר, יש יחידת מבנה בסיסית כלשהי, שחוזרת על עצמה בלי גבול בכל הכיוונים וממלאת את כל המרחב. הדבר דומה מאוד לאופן השימוש באריחים מרובעים זהים לריצוף חדר אמבטיה; לאופן שבו בונות הדבורים את חלות הדבש שלהן במערכים משושים מחזוריים; ולאופן שבו האמן מ"ק אשר (Escher), בציוריו המחזוריים המפורסמים, מילא את המישור בלטאות, בדגים, במלאכים ובשדים (איור מס' 3).
איור מס' 3:
אחד הציורים המחזוריים המרובים של האמן ההולנדי מ"ק אשר.
[כל הזכויות שמורות לקורדון ארט בע"מ.]
רעיון הסדר המחזורי של הגבישים נחל הצלחה מרשימה. הודות לו עלה בידי הקריסטלוגרפים לנבא את כל הזוויות האופייניות שיכולות להופיע בין פאותיהם של גבישים מכל סוג נתון. בעקבות גילוי עקיפת קרני רנטגן בגבישים ע"י מקס פון לאווה (von Laue) ב-1912, ופיתוח הקריסטלוגרפיה בקרני רנטגן ע"י האב ובנו, ויליאם לורנס וויליאם הנרי בראג (Bragg), זכתה תיאוריית הקריסטלוגרפיה לביסוס מוצק מאין כמוהו. במשך שבעים (!!) השנים הבאות, כל תרשימי העקיפה שהתקבלו עלו בקנה אחד, באופן מושלם, עם ניבויי התיאוריה ועם הרעיון שכל הגבישים מקבלים את הסדר שלהם מן המחזוריות. אין להתפלא איפוא על שהמחזוריות הזאת, אף כי לא הוכח מעולם שהיא דרישה הכרחית לסדר, שולבה בהגדרת הגביש. וכך, עד לגילוי הקווזי-גבישים, הכול בעצם "ידעו" שגבישים הם מוצקים הבנויים מיחידות זהות במערך מחזורי.
אחת ההשלכות הידועות ביותר של המחזוריות היא ההגבלה שהיא כופה על פעולות סימטרית הסיבוב האפשריות. כשאנו אומרים "סימטרית סיבוב כפולת-n" אנו מתכוונים לסיבוב בזוית של 360° חלקי n, כך לדוגמה סימטרית סיבוב כפולת-5 הינה פעולת סיבוב בזוית של 72°, הנקראת גם סימטריה מחומשת. אנו נרחיב את הדיבור על משמעות הסימטריה בהמשך. לפי שעה נסתפק בכך שנחשוב לעצמנו על אוסף הסיבובים שמשאירים את כיווני הפאות של הגביש (איורים מס' 1 ו-2) בלא שינוי, או על אוסף הסיבובים שמשאירים את תרשים העקיפה של הגביש (איור מס' 4) בלא שינוי. כאמור, אחת ההשלכות הידועות ביותר של המחזוריות היא העובדה שסימטריות הסיבוב האפשריות היחידות הן סימטריות של סיבוב, כפולות 2, 3, 4 ו-6. סימטריה כפולת-חמש (וכן כל הסימטריות כפולות-n, כאשר n>6) אינן עולות בקנה אחד עם המחזוריות. כיוון שכך, עד לגילוי הקווזי-גבישים, הכול "ידעו" שלגבישים ולתרשימי העקיפה שלהם לא תיתכן סימטריה מחומשת. לא ניתן לתאר אם כך מה חש שכטמן ב-8 באפריל 1982, כאשר ערך ניסוי בעקיפת אלקטרונים בסגסוגת של אלומיניום ומנגן, והבחין בתרשים עקיפה דומה לזה שבאיור מס' 4!! כאשר הניח את הסגסוגת בכיוונים שונים, מצא כי יש לה הסימטריה של איקוסאדר (icosahedron) - פאון בעל 20 פאות זהות בצורת משולשים שווי צלעות - או של דודקאדר (dodecahedron) - פאון בעל 12 פאות זהות בצורת מחומשים שווי צלעות. לשני הפאונים הללו אותו אוסף של פעולות סימטריה הכולל שישה צירים של סימטריה כפולת-חמש, בנוסף לעשרה צירים של סימטריה כפולת-שלוש ו-15 צירים של סימטריה כפולת-שתיים.
איור מס' 4: תרשים עקיפה טיפוסי של קווזי-גביש, המציג סימטריה סיבובית כפולת-חמש או כפולת-עשר. לחצו על התמונה לקבלת תמונה מוגדלת. [מקור לא ידוע.]
הגביש שגילה שכטמן ב-1982, ועמו עשרות גבישים אחרים שנתגלו מאז, נקראים "קווזי-גבישים", כקיצור לביטוי "גבישים קווזי-מחזוריים" (באנגלית: "quasicrystals" = "quasiperiodic crystals"). הקווזי-גבישים שותפים לתכונות רבות עם דודניהם המחזוריים: יש להם פאות (איורים מס' 1 ו-2); הם יוצרים תרשימי עקיפה בעלי שיאים מובהקים (איור מס' 4, ועוד פרטים להלן); ואלה מהם שמחוננים ביציבות תרמודינמית יכולים לצמוח לממדים גדולים מאוד (כמו הקווזי-גביש של AlPdMn באיור מס' 5), ולהגיע למידה של סדר מיקרוסקופי שעולה אפילו על זו של הגבישים המחזוריים המושלמים ביותר. ועם זאת, הקווזי-גבישים שונים מאוד מהגבישים המחזוריים. בפרט, הם יכולים להפגין סימטרית סיבוב שאינה עולה בקנה אחד עם מחזוריות. עד כה נמצאו קווזי-גבישים בעלי הסימטריות של טטראדר, קובייה ואיקוסאדר (איורים מס' 1 [א] ו-2), ושל מנסרות בעלות 5, 8, 10 (איור מס' 1 [ב]) ו-12 פאות. יש להם גם תכונות פיסיקליות מיוחדות במינן, המהוות כיום נושא למחקר נמרץ, ובולטת מביניהן העובדה שכולם מוליכים גרועים מאוד של חשמל וחום, אף על פי שכולם סגסוגות של מתכות.
איור מס' 5: קווזי-גביש יחיד של אלומיניום-פלדיום-מנגן, בעל סימטריה איקוסהדרית. גביש יחיד זה, שהוצמח אצל IFF Forschungszentrum Jülich, עולה באורכו על 6 ס"מ. [תצלום באדיבות בן גרושקו, ייליך, גרמניה]
עקיפה וההגדרה החדשה של "גביש"
בטרם נעבור לדון במושג הסימטריה, ראוי לומר כמה מלים על ניסויי עקיפה ועל ההגדרה העדכנית של המונח "גביש". ניסוי עקיפה בודק במישרין את דרגת הסדר במוצק, על-ידי מדידתם של מתאמי הצפיפות - כלומר, הסיכוי למציאת אטום במקום מסוים, אם ידוע שיש אטום אחר במקום אחר כלשהו. אם אין סדר, הסיכוי הוא אחיד בכל כיוון ובכל מרחק. אם ישנו סדר, יהיו מקומות בהם הסיכוי למציאת אטום נוסף הוא אפסי ומקומות אחרים בהם הסיכוי הוא רב. במונחים טכניים יותר: ניסוי עקיפה מציג את התמרת פורייה של פונקציית המתאם הדו-נקודתית (second-order autocorrelation function) של המוצק, הקרויה גם בשם "פונקציית פטרסון". אם יש סדר, תרשים העקיפה מציג קבוצה של נקודות חדות הקרויות "שיאי בראג", על רקע כהה ואחיד. ככל שטווח המתאמים במוצק ארוך יותר, כן השיאים הללו חדים ומובהקים יותר. ככל שצפיפות הפגמים בסדר קטנה, כך הרקע יותר כהה ונקי.
ב-1991 החליט האיגוד הבינלאומי לקריסטלוגרפיה לשנות את הגדרת המונח גביש, שהיא מעתה זו: כל מוצק שיש לו תרשים עקיפה בדיד מעיקרו. בתוך משפחת הגבישים אפשר להבדיל בין "גבישים מחזוריים", שהם מחזוריים בקנה-המידה האטומי, לבין "גבישים אי-מחזוריים" (aperiodic crystals) שאינם כאלה. הגדרה גורפת זו משקפת את הידוע לנו עתה: מחזוריות מיקרוסקופית אינה הכרחית להשגת סדר; ועם זאת, ההגדרה מעורפלת דיה כדי לשקף את מה שעדיין אינו ידוע לנו: מה הם התנאים ההכרחיים לסדר. ההגדרה החדשה מבוססת על תוצאות ניסוי, ולא על קבוצה של כללים מיקרוסקופיים.
אפשר להשתמש בתרשים העקיפה גם כדי להבדיל בין גבישים מחזוריים לבין קווזי-גבישים, כדלקמן: כל שיא בראג בתרשים העקיפה הבדיד מגדיר "וקטור גל" שמצביע ממרכז התרשים לעבר שיא זה. בתרשים עקיפה של גביש מחזורי (בשלושה ממדים), אפשר תמיד למצוא שלושה שיאים המתאימים לשלושה "וקטורי בסיס" - b2, b1 ו-b3 - שבהם אפשר להשתמש לסימון כל יתר השיאים. את מיקומו של כל שיא אחר ניתן לתאר כסכום וקטורי בעל שלושה מקדמים (המספרים השלמים h, k ו-l), כך: hb1+kb2+lb3. בתרשימי עקיפה של קווזי-גבישים יש צורך ביותר משלושה וקטורי גל לתיאור כל השיאים, ולכן נחוצים יותר משלושה מספרים שלמים לסימון כל שיא. באופן כללי ב-d מימדים, אם ניתן להסתפק ב-d וקטורי בסיס אז הגביש הוא מחזורי, וכל עוד ניתן להסתפק במספר סופי כלשהו של וקטורי בסיס הגביש הינו קווזי-מחזורי. שימו לב, שלפי הגדרה זו, גביש מחזורי הוא בסך הכל מקרה פרטי של גביש קווזי-מחזורי, אבל כשמשתמשים במונח המקוצר קווזי-גביש מתכוונים על פי רוב לגביש קווזי-מחזורי שאיננו מחזורי (כלומר שמספר וקטורי הבסיס גדול מ-d).
עד כאן ההקדמה ההיסטורית וההגדרה המחודשת למושג גביש. כאמור, גבישים הם מוצקים סדורים ברמה האטומית. את מידת הסדר ניתן למדוד בניסויי עקיפה, ומסתבר, אחרי מאות שנים של הבנה שגויה, שמחזוריות איננה הדרך היחידה ליצירת סדר. הגביש אותו גילה שכטמן ב-1982 הפגין מידה רבה של סדר, אך היתה לו סימטריה מחומשת - סימטריה שהעידה על כך שהוא אינו יכול להיות מחזורי. מייד נסביר בדיוק למה אנו מתכוונים כשאנחנו אומרים שלקווזי-גביש ישנה סימטריה מסוימת. מה שברור הוא, שהתגלית של שכטמן שברה את המוסכמות ועוררה מהפכה מדעית שאת פירותיה קוטפים היום מאות מדענים ברחבי העולם.
הסימטריה של קווזי-גבישים - הבעיה
כפי שראינו, פאותיו של (קווזי-)גביש ותרשים העקיפה שלו מגלים בעליל סימטריה מסוג מסוים, המתבטאת באוסף הסיבובים שמשאירים את כיווני הפאות בלא שינוי (איורים מס' 1 ו-2), או באוסף הסיבובים שמשאירים בלא שינוי את מיקומיהם של שיאי בראג בתרשים העקיפה (איור מס' 4). אבל מהו בדיוק טיבה של הסימטריה שמפגין הסידור המיקרוסקופי של האטומים בגביש עצמו? מהי בדיוק כוונת דברינו, כשאנו אומרים שיש לגביש סימטריה של סיבוב מסוים?
כשמדובר בגביש מחזורי, הכוונה היא שהסיבוב משאיר את צפיפות הגביש בלא שינוי עד כדי הזחה (העתקה צפידה של כל הגביש כברת דרך מסוימת בכיוון מסוים, באנגלית: "translation"). כלומר, אחרי הסיבוב אולי נצטרך לבצע הזזה אחידה של כל הגביש, אבל אחר כך יחפפו נקודות הגביש המסובב את נקודות הגביש שלפני הסיבוב, באורח מדויק. קחו לדוגמה את ההשפעה של רבע סיבוב על ציור המלאכים והשדים של אשר (איור מס' 3). לעומת זאת, הצפיפויות של גבישים קווזי-מחזוריים אינן מחוננות בסימטריות כאלה בדרך כלל. אפשר אפילו להוכיח (וזה תרגיל נחמד) כי אם יש לגביש דו-ממדי יותר מנקודה אחת שסיבוב כפול-n סביבה (n>2) מביא אותו לחפיפה מושלמת עם עצמו, אזי הגביש הוא בהכרח מחזורי. לכן, גביש בעל סימטריה כפולת-חמש, למשל, אינו יכול להכיל יותר מנקודה יחידה של סימטריה כפולת-חמש "מדויקת". אם נקבל לידינו גוש בעל גודל סופי של גביש כזה, רבים הסיכויים שלא נצליח כלל למצוא את הנקודה הזו. לכן איננו יכולים עוד להסתמך על אמת-המידה של אי-שינוי עד כדי הזחה, כהגדרתה של סימטריה גבישית. ועם כל זאת, סיבובים מסוימים שיופעלו על גביש קווזי-מחזורי יביאו אותו למצב שנראה דומה מאוד לגביש המקורי, לפני הסיבוב. מה, אם כן, מאפיין את הסיבובים המיוחדים הללו? כדי להבין מה קורה כשמסובבים קווזי-גביש נציג קודם מספר מודלים תאורטיים לסדר קווזי-מחזורי ונראה במו עיננו כיצד נראה הסדר החדש הזה, כך שבהמשך נוכל ממש לסובב את המודל ולצפות במתרחש.
מודלים תאורטיים - כיצד נראה סדר קווזי-מחזורי?
המודל הראשון לקווזי-גביש נזקף לשמו של לאונרדו מפיזה, המוכר יותר בכינויו פיבונאצ'י, למרות שהוא ודאי לא ידע שהוא מפתח מודל שכזה. בספר מתמטיקה שפרסם בשנת 1202 שאל פיבונאצ'י את השאלה הבאה:
כמה זוגות ארנבות יהיו בחלוף שנה, אם בתחילתה ישנו זוג בודד של ארנבות בוגרות ובחלוף כל חודש נולד לכל זוג בוגר זוג ארנבות צעיר, אשר מתבגר כעבור חודש?
אם נסמן כל זוג ארנבות בוגר באות L וכל זוג צעיר באות S (הסיבה לסימון תובהר מייד) נוכל לייצר בקלות את סדרת האותיות המופיעות בטבלה שבהמשך ובתוך כך לענות על שאלתו של פיבונאצ'י. נתחיל עם זוג ארנבות בוגר L, ועבור כל חודש שעובר נחליף כל הופעה של האות L ברצף האותיות LS, וכל הופעה של האות S באות L. מייד נבחין שמספר הארנבות בכל חודש שווה למספר הארנבות שהיו חודש קודם לכן, ועוד מספר הארנבות שהיו חודשיים קודם. בצורה כזאת נקבל את סדרת פיבונאצ'י הידועה: (1, 1,) 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... כך שכעבור 12 חודשים יהיו בסה"כ 377 זוגות של ארנבות.
אם נמשיך בתהליך החלפת האותיות הזה אינסוף פעמים יתקבל רצף אינסופי של שתי האותיות L ו-S בעל סדר ארוך-טווח העונה על הגדרת הקווזי-מחזוריות שציינו קודם. שימו לב שסדרת האותיות איננה מחזורית - לא ניתן להסיט אותה במספר סופי של אותיות לימין או לשמאל כך שהיא תתלכד עם עצמה. למרות זאת, קל להבחין בכך שישנם רצפים רבים של אותיות בעלי אורך סופי שחוזרים על עצמם במקומות שונים לאורך השרשרת. השרשרת היא מסודרת אך איננה מחזורית. ניתן להתרשם מן הסדר הקווזי-מחזורי על ידי הקשבה לסדרת האותיות כאשר כל אחת משתי האותיות מיוצגת ע"י צליל בתדר אחר. לחצו כאן לשמיעת הרצף של 100 האותיות הראשונות בסדרה, הלקוח מן האתר של רון נוט (Knott) מאוניברסיטת סוריי (Surrey), המוקדש כולו לסדרת פיבונאצ'י ולחיתוך הזהב [לחצו כאן לקבלת האתר - מאוד מומלץ]. שימו לב, כאשר אתם מקשיבים לסדרה, שמקטעים שלמים חוזרים על עצמם, ובכל פעם שנדמה כאילו הסדרה היא מחזורית מגיע צליל לא נכון השובר את המחזוריות. עוד על סדרת פיבונאצ'י ניתן לקרוא בספרו של מריו ליביו, "חיתוך הזהב" [2].
כדי לקבל מודל לקווזי-גביש חד-מימדי כל שעלינו לעשות הוא להניח אטומים לאורך ישר אינסופי כאשר המרחקים בין כל אטום לזה שאחריו הם בעלי שני גדלים המסודרים ע"פ סדרת האותיות: מרחק ארוך אם האות הבאה בסדרה היא (Long)יL ומרחק קצר אם האות היא (Short)יS . קטע סופי של הקווזי-גביש הנוצר מתואר באיור 6. אם נבצע ניסוי עקיפה עם הגביש שיצרנו נקבל שיאי בראג מושלמים, המעידים על קיומו של סדר ארוך-טווח, כאשר מספר וקטורי הבסיס הנחוץ להגיע לכל השיאים עם מקדמים שלמים הוא 2, כלומר גדול ממספר המימדים שהוא 1. הגביש של פיבונאצ'י הוא קווזי-גביש חד-ממדי לכל דבר!!
איור מס' 6: הגביש של פיבונאצ'י: מודל טיפוסי לקווזי-גביש במימד אחד.
כדי שנוכל לבחון את ההשפעה של פעולת סיבוב על קווזי-גביש נזדקק למודל דו-ממדי. לפי מיטב ידיעתי, המדען הראשון שבכתביו מופיע ריצוף קווזי-מחזורי בשני מימדים הוא יוהנס קפלר שהוזכר קודם לכן. למרבה הצער שרטוטיו נשכחו לאורך מאות השנים בהן התבססה הקריסטלוגרפיה כתאוריה של מבנים מחזוריים בלבד. המודל הידוע ביותר כיום לקווזי-גביש דו-ממדי הוא הריצוף שהמציא הפיסיקאי סר רוג'ר פנרוז, כמחצית העשור לפני ששכטמן ראה לראשונה את תמונת העקיפה של הקווזי-גביש הראשון. הריצוף של פנרוז בנוי משני סוגי אריחים מעוינים. לראשון - השמן - זוית חדה של 72°, ולשני - הרזה - זווית חדה של 36°, כמתואר באיור מס' 7. כמובן שניתן להניח את שני סוגי האריחים הללו על פני המישור באופן מחזורי ולקבל מודל לגביש מחזורי. מה שפנרוז מצא הוא אוסף של כללים פשוטים, הקרואים כללי התאמה, להנחת האריחים זה ליד זה, כך שאם מקיימים את כל הכללים לעולם לא ניתן לקבל ריצוף מחזורי. אם מקיימים את כל הכללים מתקבל ריצוף קווזי-מחזורי. אם נציב אטומים בקדקודי הריצוף, למשל, ונבצע ניסוי עקיפה, נוכל לראות תבנית עקיפה דומה לזו שבאיור מס' 4 לעיל. מספר וקטורי הבסיס הנחוץ לתיאור כל השיאים שבתבנית הוא 4 [נסו למצוא ארבעה וקטורי בסיס כאלה], המימד הוא 2, ולפיכך זהו אכן מודל לקווזי-גביש דו-מימדי.
איור מס' 7: שני האריחים של פנרוז. לכחול זוית חדה של 72°, ולירוק זווית חדה של 36°. על צלעות האריחים מצויינים כללי ההתאמה שמצא פנרוז, המבטיחים שהריצוף יהיה קווזי-מחזורי. פרטים בטקסט.
 _
איור מס' 8: דוגמאות לשני מקטעים בצורת דקגון, אשר ניתן ליצור ע"י הנחת האריחים של פנרוז תוך שמירה על כללי ההתאמה.
הריצוף של פנרוז תואר לראשונה בגליון ינואר 1977 של העיתון Scientific American במסגרת הטור הקבוע על שעשועי מתמטיקה של מרטין גרדינר. אכן, חמש שנים בלבד לפני התגלית של שכטמן נתפס הריצוף של פנרוז - המהווה כיום אבטיפוס כמודל לקווזי-גביש - כשעשוע מתימטי ותו לו. אגב, פנרוז אשר הבחין בחשיבות ההישג המתימטי שלו, רשם פטנט על המצאת הריצוף. כעבור מספר שנים, תבע פנרוז לדין את חברת קימברלי-קלארק על שימוש ללא רשות בריצוף. מישהו בחברה החליט לעטר את נייר הטואלט שלהם בריצוף פנרוז, אולי על מנת לנצל את הקווזי-מחזוריות למניעת הידבקות השכבות בגליל זו לזו. כנראה שבבריטניה לא יאה שפשוטי העם ינגבו את ישבנם ביצירה של בן-אצולה [לחצו כאן לתאור משעשע של המקרה].
כללי ההתאמה של פנרוז מתוארים באיור מספר 7 באמצעות חצאי חיצים מלאים וריקים המשורטטים על שפות האריחים. מותר להניח שני אריחים זה ליד זה רק בתנאי ששני חצאי החיצים מתחברים יחדיו כראוי (מבחינת כיוונם ומילוים). איור מס' 8 מציג שתי דוגמאות למקטעים בצורת דקגון שניתן ליצור באופן זה. את ריצוף פנרוז ניתן ליצר גם בדרכים נוספות. לדוגמה, ניתן להשתמש בכללי החלפה כדוגמת כללי ההחלפה של האותיות L ו-S שבאמצעותם יצרנו את הגביש של פיבונאצ'י. כללי ההחלפה עבור ריצוף פנרוז מתוארים באיור מס' 9. מתחילים מאחד האריחים ובכל שלב מחליפים את האריחים הקיימים, לפי הכללים המתוארים, באריחים זהים רק קטנים יותר. היחס שבו קטנות צלעות המעוינים משלב לשלב שווה בדיוק לחיתוך הזהב  , כך שאם ממשיכים את התהליך אינסוף פעמים, ואחרי כל החלפה כופלים את אורכי הצלעות בחיתוך הזהב, מתקבל ריצוף פנרוז המכסה את כל המישור. איור מס' 10 מציג את הריצוף המתקבל מאריח בודד לאחר 6 החלפות.
איור מס' 9: כללי ההחלפה היוצרים את ריצוף פנרוז. מתחילים מאחד האריחים ובכל שלב מחליפים את האריחים המופיעים בצד שמאל באלו שמימין המכילים אריחים זהים בצורתם, אך צלעותיהם קטנות מהמקוריות ביחס של חיתוך הזהב. פרטים בטקסט.
איור מס' 10: מקטע של ריצוף פנרוז שנוצר מאריח כחול יחיד לאחר 6 החלפות על פי כללי ההחלפה שבאיור מס' 9.
לא נרחיב כאן את הדיבור על כל השיטות השונות ליצירת ריצופים קווזי-מחזוריים, כדוגמת הריצוף של פנרוז, ועל תכונותיהם המתמטיות. נאמר רק שתחום המחקר בקריסטלוגרפיה מתמטית, שהיה נחשב לתחום מת לפני גילוים של הקווזי-גבישים, מהווה כיום תחום מחקר פעיל ושוקק חיים. הקדמה לתחום זה ניתן למצוא בספרה של סנשל [7]. כמו כן, תוכלו ללחוץ כאן כדי לעבור לאתר האינטרנט של המחבר שם תוכלו ליצור ריצופים משלכם באמצעות תוכנת ג'אווה הידודית המבוססת של שיטת הגריד הדואלי (dual grid method) ליצירת ריצופים קווזי-מחזוריים, שהומצאה ע"י המתמטיקאי דה-ברוין (De Buijn).
הסימטריה של קווזי-גבישים - הפתרון
כאמור, איננו יכולים עוד להסתמך על אמת-המידה של אי-שינוי עד כדי הזחה, כהגדרתה של סימטריה בגבישים, משום שהגדרה זו תקפה רק במקרה שהגבישים הם מחזוריים. כדי לראות מה קורה במקרה הקווזי-מחזורי נשתמש בריצוף פנרוז כדגם לקווזי-גביש דו-ממדי. ראשית, נבהיר שגיאה נפוצה בהתייחס לריצוף פנרוז. אם תמתינו עד שהדפדפן שלכם יוריד את כל קובץ התמונה, תראו את ריצוף פנרוז שבאיור מס' 11 מתחיל להסתובב. [לחיצה על כפתור "עצור" של הדפדפן תקפיא את ההנפשה. לחיצה על כפתור "טען שוב" תניע אותה מחדש.] נקודת הסיבוב היא הנקודה האחת והיחידה בכל הריצוף האינסופי שיש לה סימטריה כפולת-חמש "מדויקת", שהרי כבר ציינו שלא יתכן שתהיה יותר מנקודה אחת שכזו. למרות זאת, בגלל קיומה של הנקודה הבודדת הזו סבורים רבים שיש לריצוף פנרוז רק סימטריה כפולת-חמש, בעוד שלמעשה יש לו סימטריה כפולת-עשר כפי שיובהר מיד. זהו ריצוף דקגוני ולא פנטגוני, אף-על-פי שאין בו אפילו נקודה אחת של סימטריה כפולת-עשר "מדויקת".
איור מס' 11: מקטע של ריצוף פנרוז, המסתובב סביב נקודת הסימטריה כפולת-חמש המדויקת היחידה שלו. [כל הזכויות שמורות לרוג'ר פנרוז.]
כדי לעמוד על פעולתו של סיבוב כפול-עשר על ריצוף פנרוז, ראו את ההנפשה באיור מס' 12. ריצוף פנרוז אדום מונח על-גבי ריצוף זהה בצבע כחול, ואז מתחיל הריצוף האדום להסתובב נגד כיוון השעון. שום דבר מעניין אינו קורה לפני שהושלם סיבוב כפול-עשר (36°), שאז יש חפיפה של רבים למדי מבין הקדקודים של שני הריצופים. אז מוזח הריצוף האדום במידה מסוימת, עד שאזורים שלמים - שרוחבם 10 עד 15 אריחים - נעשים חופפים. לבסוף מוזח הריצוף האדום הלאה, עד שאזור שגודלו כגודל כל המקטע נעשה חופף. בין האזורים החופפים נשארות תמיד רצועות (יש המכנים אותן "תולעים") של אריחים שאינם חופפים. אילו יכולנו לראות את מלוא הריצוף האינסופי, היינו רואים שכל איזור מתוחם בריצוף המסובב נמצא גם בריצוף הלא-מסובב, אך ככל שהאיזור גדול יותר, כן יהיה עלינו להרחיק בחיפושינו אחריו. ועם כל זאת, אין שום הזחה שתביא לחפיפה מלאה בין כל הריצוף האינסופי האדום לבין הריצוף האינסופי הכחול. תמיד יישארו "תולעים" של חוסר חפיפה.
איור מס' 12: הסימטריה כפולת-עשר של ריצוף פנרוז: חפיפת אזורים מתוחמים.
הסיבה לתופעות הללו היא ששני הריצופים מכילים את אותה ההתפלגות הסטטיסטית של תת-מבנים מתוחמים בעלי גודל כלשהו. תכונה זו מומחשת באיור מס' 13, המציג מקטעים של שני ריצופי פנרוז, השונים זה מזה בסיבוב כפול-עשר. שני המקטעים מכילים מספר שווה בקירוב של כוכבים בעלי חמישה קדקודים המצביעים ימינה (מובלטים בצהוב), ומספר שווה בקירוב של כוכבים כאלה שמוקפים בחמישה אריחים דקים (מובלטים בסגול). כדי לעמוד על הסטטיסטיקה של מבנים גדולים יותר, עלינו להתבונן במקטעים גדולים יותר, אבל אילו יכולנו לעשות זאת, היינו מוצאים ששני הריצופים מכילים את אותה ההתפלגות הסטטיסטית של מבנים מתוחמים בכל קני-המידה.
שני גבישים שצפיפויותיהם זהות סטטיסטית במובן זה נקראים "בלתי-נבדלים" (באנגלית: indistinguishable), מונח שטבעו דן רוקסר, דייוויד רייט ודייוויד מרמין (Rokhsar, Wright, Mermin). המפתח להבנת הסימטריה של קווזי-גבישים הוא ההכרה בכך שפעולת סימטריה היא פעולה שמביאה את הגביש למצב בלתי-נבדל, ממש כמו פעולתו של סיבוב כפול-עשר על ריצוף פנרוז. רק כאשר גביש הוא מחזורי, שב מושג האי-נבדלות ומצטמצם לתפיסה המסורתית בדבר "אי-שינוי עד כדי הזחה". הכוונה היא שאם שני גבישים מחזוריים הם בלתי-נבדלים אזי הם בעצם זהים עד כדי הזחה. לגבי קווזי-גבישים אי-הנבדלות יכולה להיות יותר מורכבת מסתם הזחה, אך לא כאן המקום להרחיב על כך. השימוש במושג האי-נבדלות כאמת-המידה לסימטריה הינו בדיוק ההכללה אותה חיפשנו. הוא מתאר נכונה את ההשפעה של פעולת סימטריה בגביש קווזי-מחזורי, ובמקרה הפרטי של גביש מחזורי הוא שב ומצטמצם לאמת-המידה המסורתית הנהוגה עבור גבישים אלו.
איור מס' 13: הסימטריה כפולת-עשר של תשבוץ פנרוז: הסטטיסטיקה של מבנים מתוחמים.
חבורות נקודתיות וחבורות מרחביות
בד בבד עם הכללת ההגדרות והמושגים הקשורים לגבישים ולסדר ארוך-טווח נדרשת גם הכללה, ואפילו החלפה, של הכלים באמצעותם אנו מתארים, חוקרים ומסבירים את התכונות השונות של גבישים. דוגמה אחת שרק נזכיר על קצה המזלג, אותה אנו כבר מבינים היטב, הינה הטיפול המתמטי בסימטריה של גבישים - מחזוריים ואי-מחזוריים כאחד. ישנם כלים רבים נוספים (כגון השיטות לפתרון בעיית הפאזה בתבניות העקיפה מקווזי-גבישים וכלים תאורטיים כמו השימוש במבנה הפסים האלקטרוניים באזור ברילואן של הגביש) אשר אינם תקפים עוד ללא מחזוריות, וטרם נמצא להם תחליף משביע רצון.
אוסף כל הסיבובים וההשתקפויות שיוצר את הסימטריות של גביש נתון, על פי אמת-המידה של אי-נבדלות, מהווה את החבורה הנקודתית (point group) של הגביש. המלה "חבורה" (group) מתייחסת למבנה מתמטי מסוים, שבהקשר הנוכחי פשוט מציין כי (א) אם סיבוב כפול-n עם כיוון השעון הוא סימטריה, אזי זה גם דינו של סיבוב כפול-n נגד כיוון השעון; (ב) הפעולה האפקטיבית שמתקבלת עם ביצוע שתי פעולות סימטריה בזו אחר זו, גם היא פעולת סימטריה.
כדי לקבוע במלואה את הסימטריה של גביש - הנתונה על פי מה שקרוי החבורה המרחבית (space group) של הגביש - עלינו לציין במדויק מה טיבו של השוני בין הגרסה המקורית של הגביש והגרסה המסובבת. אם הגביש מחזורי, כלומר האי-נבדלות מצטמצמת לאי-שינוי עד כדי הזחה, כל שעלינו לעשות הוא לציין במדויק איזו הזחה צריכה לבוא אחרי כל סיבוב על-מנת להשאיר את הגביש בלא שינוי. אבל אם הגביש קווזי-מחזורי, אין די בהזחות פשוטות והמידע הדרוש מתקבל מאוסף של פונקציות די פשוטות, הקרויות "פונקציות מופע" (phase functions). לחילופין, אפשר גם לבטא את המידע הגלום בפונקציות המופע באמצעות "על"-הזחה - הזחה במרחב גבה-ממדי מופשט, הקרוי "על-מרחב" (superspace). בקבוצת המחקר שלנו באוניברסיטת תל אביב אנו מעדיפים את הגישה הראשונה, הישירה יותר, אם כי יש יתרונות גם לגישה הגבה-ממדית. פרטים נוספים מצויים ברשימת הקריאה המומלצת.
סיכום
תגליתו של שכטמן ב-1982 הפכה על פניהם רבים ממושגי היסוד אותם היכרנו בתחומי הקריסטלוגרפיה, ופיסיקת המצב המוצק, והיוותה את תחילתה של מהפכה מדעית שעדיין נמצאת בעיצומה. אנו נדרשים כיום לתת מענה לשאלות - אשר בחלקן דנו כאן - כגון מהו גביש? מה טיבו של הסדר ארוך-הטווח במוצקים? מהי אמת-המידה לסימטריה בגבישים? כפיסיקאים אנו גם נדרשים להסביר את ההשלכות של הסדר, המבנה והסימטריה על תכונותיהם הפיסיקליות של קווזי-גבישים. בתוך כך עלינו למצוא תחליפים לכל אותם כלים נסיוניים ותאורטיים שפותחו במהלך עשורים רבים בהתבסס על העובדה שגבישים הם מחזוריים ואשר אינם תקפים עבור גבישים לא מחזוריים. בכל השאלות הללו, ועוד, עוסקים כיום מאות מדענים ברחבי העולם החבים את תודתם לדני שכטמן על שנלחם במשך שנתיים ויותר על מנת לקבל את הכרתה של הקהיליה המדעית בתגליתו. טענתו של שכטמן שיתכן גביש בעל סימטריה מחומשת נתקלה בהתנגדות נמרצת אף לאחר פרסומה בעיתון המדעי החשוב Physical Review Lettersי [3], כאשר מוביל ההתנגדות היה ליינוס פאולינג (חתן שני פרסי נובל). מספר המתנגדים הולך וקטן עם הזמן, והרעיונות החדשים מחלחלים אט-אט לתודעתה של הקהיליה המדעית הכללית, אך אין ספק כי צפויות לנו עוד שנים רבות של מחקר אינטנסיבי ומעניין בקווזי-גבישים עד ששוב נחשוב שאנו מבינים את כל שיש להבין על גבישים. אז נהיה מוכנים למהפכה המדעית הבאה.
תודות
ברצוני להודות לעמנואל לוטם על תרגומו לעברית של גרסה קודמת של מאמר זה, ובמיוחד על הצעת המונח 'אי-נבדלות' כתרגום למונח האנגלי 'indistinguishability', ועל כך שלימד אותי כי 'טרנסלציה' היא 'הזחה' וכי תכנית 'אינטראקטיבית' היא 'הידודית'. המחקר שלי בתחום הקווזי-גבישים ממומן בשנים האחרונות ע"י הקרן הלאומית למדע (מענק מספר 00/278). מחקר זה נערך באוניברסיטת תל אביב בשיתוף עם תלמידי - שחר אבן-דר מנדל, גלעד ברק, פבל רדזיבילובסקי, רוני אילן ועדו ליברטי - אשר לכולם אני מודה.
הצעות לקריאה נוספת
עד כמה שידוע לי אין חומר מקורי בעברית על קווזי-גבישים, אך ישנם לפחות שני ספרים הקשורים לנושא שתורגמו לעברית ע"י עמנואל לוטם:
1. על סימטריה בקריסטלוגרפיה:
א' סטיוארט ומ' גולוביצקי, סימטריה נוראה: האם אלוהים הוא גיאומטריקן? (תר' ע' לוטם; תל אביב: זמורה ביתן, 2001), פרק 4.
2. על ריצופי פנרוז וקווזי-גבישים:
מ' ליביו, חיתוך הזהב: קורותיו של מספר מופלא (תר' ע' לוטם; תל אביב: אריה ניר, 2003), פרק 8.
3. קצת טכני, אבל מן המאמר הזה התחיל הכול:
D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, & J. W. Cahn, "Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry", Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 1951-1953.
4. זיכרונות אישיים על גילוי הקווזי-גבישים:
D. Shechtman & C. Lang, "Quasiperiodic materials: Discovery and recent developments", MRS Bulletin Vol. 22 No. 11 (1997) 40-42.
5. על תגלית הקווזי-גבישים כמהפכה מדעית נוסח קון:
J. W. Cahn, "Epilogue", Proceedings of the 5th International Conference on Quasicrystals, Ed. C. Janot & R. Mosseri (World Scientific, Singapore, 1995) 807-10.
6. מבוא טוב ולא-פורמלי לקריסטלוגרפיה:
M. Senechal, Crystalline symmetries: An informal mathematical introduction (Bristol: Adam Hilger, 1990).
7. ספר לימוד על המתימטיקה של קווזי-גבישים:
M. Senechal, Quasicrystals and geometry (Cambridge: Cambridge University Press, 1995).
8. ספר הכולל אוסף פרקים על התכונות הפיסיקליות של קווזי-גבישים:
Z. M. Stadnik Ed., Physical Properties of Quasicrystals (Berlin: Springer, 1999).
9. מאמר מבוא לסימטריה בגבישים קווזי-מחזוריים:
R. Lifshitz, "The symmetry of quasiperiodic crystals," Physica A 232 (1996) 633-647.
[נא ללחוץ כאן להורדה.]
מבחר פרסומים בנושא מאת המחבר
"The rebirth of crystallography.''
Ron Lifshitz. Zeit. Krist. 217 (2002) 342-343.
"Quasicrystals: A matter of definition.''
Ron Lifshitz. Foundations of Physics 33 (2003) 1703-1711.
"Magnetic point groups and space groups.''
Ron Lifshitz. Written for the Encyclopedia of Condensed Matter Physics (2004).
"The Symmetry of Quasiperiodic Crystals.''
Ron Lifshitz. Physica A 232 (1996) 633-647.
"Theory of color symmetry for periodic and quasiperiodic crystals."
Ron Lifshitz. Rev. Mod. Phys. 69 (1997) 1181-1218.
"Symmetry of magnetically ordered quasicrystals.''
Ron Lifshitz. Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 2717-2720.
"Magnetically-ordered quasicrystals: Enumeration of spin groups and calculation of magnetic selection rules.''
Ron Lifshitz and Shahar Even-Dar Mandel. Acta Cryst. A60 (2004) 167-178.
"Electrons and phonons on the square Fibonacci tilings.''
Roni Ilan, Edo Liberty, Shahar Even-Dar Mandel, and Ron Lifshitz. Ferroelectrics 305 (2004) 15-19.
מבחר אתרים על קווזי-גבישים
Ames Lab, Iowa State University.
Commission on Aperiodic Crystals of the International Union of Crystallography.
The Geometry Junkyard - Symmetry and group theory.
Laboratory of Crystallography, ETH Zürich.
Quasicrystal Research Groups, National Institute for Materials Science (NIMS), Japan.
Special Interest Group on Aperiodic Crystals of the European Crystallographic Association.
Michael Baake, Bielefeld University, Germany.
Ian R. Fisher, Stanford University.
Uwe Grimm, , The Open University, UK.
Ron Lifshitz, Tel Aviv University.
Ronan McGrath, University of Liverpool.
Charles Radin, University of Texas, Austin.
Taku J. Sato, University of Tokyo.
Pat Thiel, Iowa State University.
Steffen Weber - an Introduction
|
